Klassisches 3-4-5-Dreieck
Die Hypotenuse bei den Katheten 3 und 4 berechnen.
- a = 3, b = 4
- c² = a² + b² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
- c = √25 = 5
c = 5. Alle drei Seiten sind ganze Zahlen, es ist ein pythagoreisches Tripel.
Beispiele zum Satz des Pythagoras
Sechs Anwendungen, gerechnet mit demselben Verfahren wie im Rechner. Jedes Beispiel lässt sich mit einem Klick im Rechner öffnen.
Leiter an der Wand
Eine 5 m lange Leiter steht 1,5 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie?
- b² = c² − a² = 5² − 1,5² = 25 − 2,25 = 22,75
- b = √22,75 = 4,7697
- Probe: a² + b² = 2,25 + 22,75 = 25 = c²
- Exakt: b = √91/2 ≈ 4,7697
Die Leiter reicht 4,77 m hoch und steht im Winkel von 72,54° zum Boden.
Bildschirmdiagonale
Ein Monitor ist 53,1 cm breit und 29,9 cm hoch. Wie lang ist die Diagonale?
- a = 53,1, b = 29,9
- c² = a² + b² = 53,1² + 29,9² = 2819,61 + 894,01 = 3713,62
- c = √3713,62 = √371362/10 ≈ 60,939
Die Diagonale beträgt 60,94 cm. Bei 2,54 cm je Zoll sind das etwa 23,99 Zoll, also ein 24-Zoll-Monitor.
Dachsparren
Ein Dach hat eine halbe Spannweite von 4 m und eine Firsthöhe von 3 m über der Traufe. Wie lang ist der Sparren (ohne Überstand)?
- a = 4, b = 3
- c² = a² + b² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
- c = √25 = 5
Die Sparrenlänge beträgt 5 m, die Dachneigung 36,87°.
Diagonale eines Quadrats
Wie lang ist die Diagonale eines Quadrats mit der Seitenlänge 1?
- a = 1, b = 1
- c² = a² + b² = 1² + 1² = 1 + 1 = 2
- c = √2 = √2 ≈ 1,4142
Die Diagonale ist √2 ≈ 1,4142 mal so lang wie die Seite. Beide spitzen Winkel betragen 45°.
Rechtwinklig? (Umkehrung)
Bilden die Seiten 6, 8 und 10 ein rechtwinkliges Dreieck?
- Die längste Seite ist 10. Sie käme als Hypotenuse c infrage, die beiden anderen (6 und 8) als Katheten.
- a² + b² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
- c² = 10² = 100
Ja, rechtwinklig. Es ist das Doppelte des Tripels 3, 4, 5.
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