Wie der Pythagoras-Rechner rechnet

Benennung

Der rechte Winkel liegt bei C. Die Katheten a und b schließen ihn ein, die Hypotenuse c liegt ihm gegenüber. Der Winkel α liegt der Kathete a gegenüber, der Winkel β der Kathete b. Die Höhe h_c steht senkrecht auf der Hypotenuse. Sie teilt c in die Abschnitte p (neben a) und q (neben b).

Zwei Größen genügen

Sie können zwei beliebige der sieben Größen a, b, c, α, β, h_c und Fläche A eintragen. Der Rechner bestimmt daraus zuerst die Katheten a und b und leitet danach alles andere ab. Ausnahme: Zwei Winkel allein legen nur die Form fest, nicht die Größe. Dann meldet der Rechner einen Fehler. Sind mehr als zwei Felder ausgefüllt, gelten die beiden zuletzt geänderten, die übrigen sind als „nicht verwendet“ markiert.

Die wichtigsten Gleichungen für die Katheten:

• aus a und c: b = √(c² − a²), aus b und c entsprechend
• aus einer Kathete und einem Winkel: b = a / tan α, b = a · tan β und die entsprechenden Gleichungen für a
• aus c und einem Winkel: a = c · sin α und b = c · cos α
• aus einer Kathete und der Fläche: b = 2A / a
• aus einer Kathete und der Höhe: b = a · h / √(a² − h²)
• aus c und der Fläche oder aus c und der Höhe: a und b folgen aus a · b und a² + b² = c². Hier sind a und b vertauschbar, der Rechner nennt die kürzere Kathete a.

Abgeleitete Größen

• Hypotenuse: c = √(a² + b²)
• Winkel: α = arctan(a / b), β = 90° − α
• Fläche: A = a · b / 2, Umfang: u = a + b + c
• Höhe auf die Hypotenuse: hc = a · b / c
• Hypotenusenabschnitte: p = a² / c und q = b² / c (Kathetensatz)

Exakte Form

Sind die Eingaben ganze Zahlen oder endliche Dezimalzahlen, rechnet der Rechner die Wurzel zusätzlich als Bruch und vereinfacht sie ganzzahlig, zum Beispiel √50 = 5√2 oder √8 = 2√2. Das gilt für die Fälle a und b sowie c und eine Kathete. In allen anderen Fällen, etwa bei Winkeln, gibt es nur die gerundete Dezimalzahl. Sehr große Radikanden (über 10¹³) werden nicht vereinfacht.

Rundung und Wertebereich

Intern wird mit doppelt genauen Gleitkommazahlen gerechnet. Die Anzeige rundet auf etwa vier gültige Stellen, mindestens zwei Nachkommastellen, Winkel auf zwei Nachkommastellen. Längen dürfen zwischen 0,000000001 und 1 Billion liegen, die Fläche zwischen 10⁻¹⁸ und 10²⁴. Ein Seitenverhältnis über 1 : 1 000 000 000 lehnt der Rechner ab. Sehr große oder sehr kleine Zahlen erscheinen mit Zehnerpotenz.

Einheiten

Sie können mm, cm, m, km oder keine Einheit wählen. Die Einheit gilt für alle Längen, die Fläche erscheint mit der Einheit zum Quadrat. Der Rechner rechnet nicht zwischen Einheiten um. Winkel werden in Grad angegeben.

Pythagoreische Tripel

Sind a, b und c im Rahmen der Rechengenauigkeit positive ganze Zahlen, nennt der Rechner das Tripel und gibt an, ob es primitiv ist oder das Vielfache eines primitiven Tripels.

Rechtwinklig prüfen

Die Prüfung nimmt die längste von drei Seiten als Hypotenuse und vergleicht a² + b² mit c². Als Maß dient die relative Abweichung von c². Drei Toleranzen stehen zur Wahl: exakt (nur Rechenrundung), bis 0,5 Prozent für gerundete Werte und bis 2 Prozent für Messwerte. Außerdem muss ein Dreieck möglich sein, also die längste Seite kürzer als die Summe der beiden anderen. Der Rechner nennt den Winkel gegenüber der längsten Seite und sagt, ob das Dreieck rechtwinklig, spitzwinklig oder stumpfwinklig ist.

Skizze

Die Skizze ist maßstäblich mit dem rechten Winkel unten links. Ist einer der spitzen Winkel kleiner als 12°, zeichnet sie das Dreieck mit 12° und weist darauf hin, dass sie dann nicht maßstäblich ist.

Keine Speicherung

Die Berechnung läuft im Browser. Eingaben werden nicht gespeichert und nicht an uns übertragen. Mit „Link mit diesen Werten kopieren“ legen Sie die Werte auf Wunsch in die Internetadresse. Das passiert nur in Ihrer Zwischenablage.

Die Seiten unter /dreieck/

Zu jedem Kathetenpaar gibt es eine eigene Seite. Alle Werte werden beim Erstellen der Seite mit derselben Rechenlogik berechnet wie im Rechner. Es gibt keine von Hand eingetragenen Zahlen.

Quellen

• Euklid, Elemente, Buch I, Satz 47 und 48 (Satz des Pythagoras und Umkehrung)
• Kultusministerkonferenz: Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Ersten und den Mittleren Schulabschluss (Beschluss i. d. F. vom 23.06.2022)
• Wikipedia: Artikel zu Satz des Pythagoras, Höhensatz, Kathetensatz, Kosinussatz, Pythagoreisches Tripel

Was wir nicht machen

Der Rechner ersetzt keine Statikberechnung, keine geodätische Vermessung und keine fachkundige Bauaufnahme. Er kennt kein Messrauschen und keine Bauteiltoleranzen, sondern rechnet mit idealen Dreiecken.

Verantwortung

Für Rechner und Seiten ist Mateusz Viola zuständig, für Recherche und Quellen Jan-Tristan Rudat. Inhaltlich verantwortlich nach § 18 Abs. 2 MStV ist Eike-Christian Ramcke, Geschäftsführer der AKARA Solutions GmbH (vollständige Angaben im Impressum). Fehler melden Sie an info@akara-solutions.de.