Ratgeber · Geschichte & Methoden
Der Satz des Pythagoras: Drei anschauliche Beweise
Kaum ein mathematischer Satz hat so viele Beweise wie der Satz des Pythagoras, mehrere hundert sind dokumentiert. Drei davon kommen ohne komplizierte Algebra aus und lassen sich fast rein zeichnerisch nachvollziehen.
Ein Satz, hunderte Beweise
Nur wenige mathematische Aussagen sind so oft bewiesen worden wie der Satz des Pythagoras. Die berühmte Sammlung von Elisha Loomis führte bereits über 350 verschiedene Beweise auf, und es kamen seither weitere hinzu. Drei davon sind besonders anschaulich, weil sie weitgehend ohne Formeln auskommen.
Der Zerlegungsbeweis
Zeichnen Sie zwei gleich große Quadrate mit der Seitenlänge a plus b. In das erste Quadrat legen Sie vier identische rechtwinklige Dreiecke so hinein, dass in den Ecken zwei kleinere Quadrate mit den Flächen a² und b² frei bleiben. In das zweite Quadrat legen Sie dieselben vier Dreiecke anders an, sodass in der Mitte ein gekipptes Quadrat mit der Fläche c² frei bleibt. Da beide großen Quadrate gleich groß sind und jeweils dieselben vier Dreiecke enthalten, müssen auch die freien Flächen gleich groß sein. Daraus folgt unmittelbar a² plus b² gleich c².
Der Beweis durch Umlegen
Eine Variante arbeitet mit nur einem Quadrat über der Hypotenuse, das in Teile zerschnitten und so umgelegt wird, dass es genau die beiden Kathetenquadrate füllt. Dieser Umlegebeweis lässt sich mit Papier und Schere nachstellen und überzeugt, weil man die Flächengleichheit buchstäblich in der Hand hält.
Garfields Trapez-Beweis
Der wohl ungewöhnlichste Beweis stammt von James A. Garfield, der 1876 als Kongressabgeordneter und später als US-Präsident bekannt wurde. Er setzt zwei rechtwinklige Dreiecke und ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck zu einem Trapez zusammen. Die Fläche dieses Trapezes berechnet er auf zwei Weisen: einmal über die Trapezformel, einmal als Summe der drei Dreiecksflächen. Setzt man beide Ausdrücke gleich und vereinfacht, ergibt sich erneut a² plus b² gleich c².
Warum die Vielfalt zählt
Dass ein einziger Satz auf so viele Arten bewiesen werden kann, zeigt, wie tief er in der Geometrie verankert ist. Für die praktische Anwendung im Rechner genügt die Formel, doch wer einen der Beweise einmal selbst nachvollzogen hat, vergisst sie nicht mehr. Besonders der Zerlegungsbeweis eignet sich gut, um den Satz Schülerinnen und Schülern oder auch sich selbst verständlich zu machen.
FAQ
Häufige Fragen
Wie viele Beweise des Satzes gibt es?
Es sind mehrere hundert Beweise dokumentiert. Die Sammlung von Elisha Loomis aus dem frühen zwanzigsten Jahrhundert führt bereits über 350 verschiedene Beweise auf. Sie reichen von rein geometrischen Zerlegungen bis zu algebraischen und sogar dynamischen Argumenten.
Was ist der Zerlegungsbeweis?
Man zeichnet zwei gleich große Quadrate mit der Seitenlänge a plus b. Im einen ordnet man vier rechtwinklige Dreiecke so an, dass die Flächen a² und b² frei bleiben, im anderen so, dass die Fläche c² frei bleibt. Da beide Restflächen gleich groß sind, gilt a² plus b² gleich c².
Hat wirklich ein US-Präsident einen Beweis gefunden?
Ja. James A. Garfield, später US-Präsident, veröffentlichte 1876 einen Beweis über ein Trapez, das aus zwei rechtwinkligen Dreiecken und einem weiteren Dreieck besteht. Er berechnet die Trapezfläche auf zwei Arten und erhält daraus den Satz.
Quellen