Ratgeber · Geschichte & Methoden
Pythagoras, Sinus- und Kosinussatz: Welche Formel passt?
Der Satz des Pythagoras ist die schnellste Formel, gilt aber nur, wenn ein Winkel genau 90° beträgt. Für beliebige Dreiecke brauchen Sie den Kosinussatz oder den Sinussatz. Der Satz des Pythagoras ist der Spezialfall des Kosinussatzes für γ = 90°.
Die drei Formeln
- Satz des Pythagoras (nur bei γ = 90°): a² + b² = c²
- Kosinussatz (jedes Dreieck): c² = a² + b² − 2ab · cos γ
- Sinussatz (jedes Dreieck): a / sin α = b / sin β = c / sin γ
Die Seiten a, b, c liegen den Winkeln α, β, γ gegenüber.
Entscheidungshilfe
- Gibt es einen rechten Winkel? Dann genügt der Satz des Pythagoras, bei Winkeln zusätzlich Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck.
- Sind zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt, oder alle drei Seiten? Kosinussatz.
- Sind eine Seite und der gegenüberliegende Winkel bekannt, dazu eine weitere Seite oder ein weiterer Winkel? Sinussatz.
Drei Beispiele
Rechtwinkliges Dreieck. Katheten 3 und 4: c = √(9 + 16) = 5.
Zwei Seiten, eingeschlossener Winkel. a = 3, b = 4, γ = 100°: c² = 9 + 16 − 24 · cos 100° ≈ 29,17, also c ≈ 5,40. Bei γ = 80° wäre c ≈ 4,56. Beim rechten Winkel (90°) ist c = 5.
Eine Seite, zwei Winkel. Ist a = 10, α = 30° und β = 70°, dann ist γ = 80° und b = a · sin β / sin α ≈ 18,79.
Zusammenhang im rechtwinkligen Dreieck
Im rechtwinkligen Dreieck sind Sinus und Kosinus einfache Seitenverhältnisse: sin α = a / c, cos α = b / c und tan α = a / b. Der Rechner nutzt diese Beziehungen, wenn Sie einen Winkel eingeben. Mit α und c bestimmt er a = c · sin α und b = c · cos α. Der Satz des Pythagoras folgt daraus über sin²α + cos²α = 1.
Was Sie mitnehmen
Der Satz des Pythagoras ist der schnellste Weg, gilt aber nur mit rechtem Winkel. Mit dem Tab „Rechtwinklig prüfen“ des Rechners stellen Sie fest, ob er anwendbar ist. Für andere Dreiecke nehmen Sie Kosinus- oder Sinussatz.
FAQ
Häufige Fragen
Wann verwende ich den Satz des Pythagoras?
Wenn das Dreieck einen rechten Winkel hat und zwei Seiten bekannt sind. Dann ergibt a² + b² = c² die dritte Seite.
Wann brauche ich den Kosinussatz?
Wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind (c² = a² + b² − 2ab · cos γ) oder wenn alle drei Seiten bekannt sind und ein Winkel gesucht wird (cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab)).
Wann brauche ich den Sinussatz?
Wenn eine Seite und die gegenüberliegenden Winkel bekannt sind oder zwei Winkel und eine Seite. Der Sinussatz lautet a / sin α = b / sin β = c / sin γ.
Warum ist Pythagoras ein Spezialfall des Kosinussatzes?
Für γ = 90° ist cos γ = 0, der Korrekturterm −2ab · cos γ entfällt, und es bleibt c² = a² + b².
Quellen