Ratgeber · Grundlagen & Praxis
Pythagoras-Formel a² + b² = c²: Die drei Quadrate erklärt
Viele lernen a² + b² = c² als Formel zum Auflösen nach c und vergessen, was dahintersteckt: Die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse ist genauso groß wie die Flächen der beiden Quadrate über den Katheten zusammen. Beim Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 sind das 9 plus 16 gleich 25 Flächeneinheiten.
Die Formel a² + b² = c² gehört zum Schulstoff der Mittelstufe und wird je nach Bundesland in Klasse 8 oder 9 eingeführt. Wer sie nur als Rechenregel lernt, übersieht das Bild dahinter: Der Satz sagt etwas über Flächen aus, nicht nur über Längen.
Was die Formel behauptet
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c. Zeichnet man über jede der drei Seiten ein Quadrat nach außen, haben diese Quadrate die Flächen a², b² und c². Der Satz des Pythagoras besagt, dass die beiden kleineren Quadrate zusammen genauso groß sind wie das große: a² + b² = c².
Beim Dreieck 3, 4, 5 sind es 9 + 16 = 25. Beim Dreieck 6, 8, 10 sind es 36 + 64 = 100. Beim Dreieck mit den Katheten 1 und 1 ist c² = 2, also c = √2.
Katheten und Hypotenuse
- Katheten sind die beiden Seiten am rechten Winkel. Sie heißen meist a und b.
- Hypotenuse ist die Seite gegenüber dem rechten Winkel. Sie heißt meist c und ist immer die längste Seite.
Häufiger Fehler: Die längste Seite eines beliebigen Dreiecks als Hypotenuse zu bezeichnen. Das ist nur sinnvoll, wenn das Dreieck einen rechten Winkel hat.
Die Rechenroutine
Die Hypotenuse berechnen Sie immer gleich:
- Beide Katheten quadrieren: 3² = 9 und 4² = 16.
- Die Quadrate addieren: 9 + 16 = 25.
- Die Wurzel ziehen: √25 = 5.
Eine Kathete berechnen Sie umgekehrt: die Hypotenuse quadrieren, das Quadrat der bekannten Kathete abziehen, die Wurzel ziehen.
Ein Beispiel mit krummen Zahlen: Eine Stufe ist 17 cm hoch und 28 cm tief. Die Diagonale von der Vorderkante der einen zur nächsten Stufenkante ist √(17² + 28²) = √(289 + 784) = √1073 ≈ 32,76 cm.
Typische Fehler
- Hypotenuse und Kathete verwechselt. Zuerst klären, wo der rechte Winkel ist. Die gegenüberliegende Seite ist c.
- Nach dem Addieren nicht die Wurzel gezogen. Wer 9 + 16 = 25 als Ergebnis notiert, hat c² statt c.
- Verschiedene Einheiten gemischt. Alle Längen vor dem Rechnen auf dieselbe Einheit bringen.
Standardwerte im Überblick
| Kathete a | Kathete b | a² + b² | Hypotenuse c |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 25 | 5 |
| 5 | 12 | 169 | 13 |
| 6 | 8 | 100 | 10 |
| 8 | 15 | 289 | 17 |
| 7 | 24 | 625 | 25 |
| 20 | 21 | 841 | 29 |
In diesen Zeilen ist die Hypotenuse jeweils eine ganze Zahl. Solche Zahlentripel heißen pythagoreische Tripel.
Warum nur bei einem rechten Winkel
Die Gleichheit der Flächen gilt nur bei genau 90° zwischen a und b. Ist der Winkel kleiner, wird c kürzer als der Pythagoras-Wert, ist er größer, wird c länger. Der Kosinussatz beschreibt das mit dem Korrekturterm −2ab · cos γ. Mit der Umkehrung des Satzes lässt sich daraus ein Test machen, siehe Rechtwinklig oder nicht?.
Beispiele aus dem Alltag
Bildschirm. Ein Monitor mit 60 cm Breite und 33,75 cm Höhe hat eine Diagonale von √(3600 + 1139,06) ≈ 68,84 cm. Das sind rund 27,1 Zoll bei 2,54 cm je Zoll.
Leiter. Eine 6 m lange Leiter, die im Winkel von 75° zum Boden angelegt wird, steht etwa 6 · cos 75° ≈ 1,55 m von der Wand entfernt und reicht √(36 − 2,40) ≈ 5,80 m hoch.
Raum. Ein Zimmer von 5 m mal 4 m hat eine Bodendiagonale von √41 ≈ 6,40 m.
Der Satz im Raum
Für einen Quader mit den Kantenlängen l, b und h ist die Raumdiagonale √(l² + b² + h²). Das ist der Satz des Pythagoras, zweimal angewendet: erst für die Bodendiagonale √(l² + b²), dann für das Dreieck aus Bodendiagonale und Höhe. Für 5 m, 4 m und 2,5 m ergibt das √47,25 ≈ 6,87 m.
Worauf es ankommt
Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Die Routine Quadrieren, Addieren, Wurzelziehen ist immer dieselbe. Der Rechner übernimmt diese Schritte, zeigt den Rechenweg und weist darauf hin, wenn ein pythagoreisches Tripel vorliegt.
FAQ
Häufige Fragen
Warum heißt es Kathete und Hypotenuse?
Beide Wörter stammen aus dem Griechischen. Kathete geht auf káthetos zurück, „herabgelassen“ oder „senkrecht“. Hypotenuse geht auf hypoteínousa zurück, „die sich Darunterspannende“. Die Katheten sind die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist die längste Seite. Ohne rechten Winkel gibt es weder Katheten noch eine Hypotenuse.
Gilt der Satz auch für Dreiecke ohne rechten Winkel?
Nein. Für beliebige Dreiecke gilt der Kosinussatz c² = a² + b² − 2ab · cos γ, wobei γ der Winkel zwischen a und b ist. Bei γ = 90° ist cos γ gleich 0, und es bleibt a² + b² = c². Der Satz des Pythagoras ist also ein Spezialfall des Kosinussatzes.
Wie löse ich die Formel nach einer Kathete auf?
Aus a² + b² = c² folgt b = √(c² − a²). Beispiel: Eine 5 m lange Leiter steht 1,5 m von der Wand entfernt. Dann ist b² = 25 − 2,25 = 22,75 und b ≈ 4,77 m. Das Ergebnis ist nur definiert, wenn c größer als a ist.
Wer hat den Satz zuerst bewiesen?
Das lässt sich nicht sicher sagen. Der Zusammenhang war schon lange vor Pythagoras (um 570 bis 500 v. Chr.) bekannt, zum Beispiel in Mesopotamien und Indien. Der älteste erhaltene Beweis steht in Euklids Elementen, Buch I, Satz 47, um 300 v. Chr. Ob Pythagoras selbst einen Beweis geführt hat, ist nicht belegt.
Quellen