Ratgeber · Geschichte & Methoden
Pythagoreische Tripel: 3-4-5, 5-12-13 und die Euklid-Formel
Drei positive ganze Zahlen mit a² + b² = c² heißen pythagoreisches Tripel. Das bekannteste ist (3, 4, 5), es folgen (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) und (20, 21, 29). Alle primitiven Tripel lassen sich aus zwei Zahlen m und n erzeugen. Dieser Ratgeber zeigt die Formel, den Beweis und eine vollständige Liste bis c = 100.
Ein pythagoreisches Tripel (a, b, c) besteht aus positiven ganzen Zahlen mit a² + b² = c². Der Reiz liegt darin, dass die Wurzel aufgeht: Die Hypotenuse ist eine ganze Zahl.
Beispiele und primitive Tripel
- (3, 4, 5): 9 + 16 = 25
- (5, 12, 13): 25 + 144 = 169
- (8, 15, 17): 64 + 225 = 289
- (7, 24, 25): 49 + 576 = 625
- (20, 21, 29): 400 + 441 = 841
- (9, 40, 41): 81 + 1600 = 1681
Ein Tripel heißt primitiv, wenn a, b und c keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben. Multipliziert man ein Tripel mit einer ganzen Zahl, entsteht ein weiteres: (3, 4, 5) mal 2 ergibt (6, 8, 10), mal 3 ergibt (9, 12, 15). Diese Vielfachen sind nicht primitiv. Im Rechner und auf den Seiten unter Dreiecke wird bei einem Vielfachen angegeben, von welchem primitiven Tripel es stammt.
Die Euklid-Formel
Wählen Sie zwei natürliche Zahlen m und n mit m > n und setzen Sie
- a = m² − n²
- b = 2mn
- c = m² + n²
Dann ist (a, b, c) ein pythagoreisches Tripel. Der Nachweis ist eine kurze Rechnung:
(m² − n²)² + (2mn)² = m⁴ − 2m²n² + n⁴ + 4m²n² = m⁴ + 2m²n² + n⁴ = (m² + n²)².
Das Tripel ist primitiv, wenn m und n teilerfremd sind und genau eine der beiden Zahlen gerade ist. Umgekehrt entsteht jedes primitive Tripel auf diese Weise, wobei a und b auch vertauscht sein können. Die Formel steht der Sache nach schon in der griechischen Mathematik, Euklid behandelt ein gleichwertiges Verfahren in den Elementen.
| m | n | a = m² − n² | b = 2mn | c = m² + n² | primitiv |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 3 | 4 | 5 | ja |
| 3 | 2 | 5 | 12 | 13 | ja |
| 4 | 1 | 15 | 8 | 17 | ja |
| 4 | 3 | 7 | 24 | 25 | ja |
| 5 | 2 | 21 | 20 | 29 | ja |
| 5 | 4 | 9 | 40 | 41 | ja |
| 6 | 1 | 35 | 12 | 37 | ja |
| 6 | 5 | 11 | 60 | 61 | ja |
| 3 | 1 | 8 | 6 | 10 | nein (m und n beide ungerade) |
| 4 | 2 | 12 | 16 | 20 | nein (m und n nicht teilerfremd) |
Alle primitiven Tripel bis c = 100
Es gibt genau 16: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29), (12, 35, 37), (9, 40, 41), (28, 45, 53), (11, 60, 61), (16, 63, 65), (33, 56, 65), (48, 55, 73), (13, 84, 85), (36, 77, 85), (39, 80, 89) und (65, 72, 97).
Mit der Formel finden Sie leicht weitere. Für m = 8 und n = 1 ergibt sich (63, 16, 65), für m = 8 und n = 3 ergibt sich (55, 48, 73) und für m = 8 und n = 5 ergibt sich (39, 80, 89). Probe für das letzte: 39² + 80² = 1521 + 6400 = 7921 = 89².
Plimpton 322
Die babylonische Tontafel Plimpton 322 (um 1800 v. Chr.) enthält nach der verbreiteten Deutung Zahlen, die zu pythagoreischen Tripeln gehören, darunter (12709, 13500, 18541). Wie die Babylonier sie gefunden haben, ist nicht geklärt. Mehr dazu in der Geschichte des Satzes.
Anwendungen
- Unterricht. Aufgaben mit Tripeln haben ganzzahlige Lösungen und lassen sich ohne Taschenrechner kontrollieren.
- Abstecken. Das Tripel (3, 4, 5) und seine Vielfachen dienen zum Abstecken rechter Winkel, siehe Pythagoras auf der Baustelle.
- Zahlentheorie. Für Exponenten ab 3 hat die Gleichung aⁿ + bⁿ = cⁿ keine Lösungen in positiven ganzen Zahlen. Das ist der Große Fermatsche Satz, den Andrew Wiles 1994/95 bewiesen hat.
Die wichtigsten Punkte
Es gibt unendlich viele pythagoreische Tripel. Alle entstehen aus primitiven Tripeln, und diese lassen sich über die Euklid-Formel erzeugen. Ob Ihre Seiten ein Tripel bilden, erkennt der Rechner automatisch.
FAQ
Häufige Fragen
Was ist ein primitives Tripel?
Ein Tripel, dessen drei Zahlen keinen gemeinsamen Teiler größer als 1 haben. (3, 4, 5) ist primitiv, (6, 8, 10) nicht, denn es ist das Doppelte von (3, 4, 5). Jedes Tripel ist ein Vielfaches eines primitiven Tripels.
Wie funktioniert die Euklid-Formel?
Sie wählen natürliche Zahlen m > n und rechnen a = m² − n², b = 2mn, c = m² + n². Für m = 2 und n = 1 ergibt sich (3, 4, 5), für m = 3 und n = 2 ergibt sich (5, 12, 13). Das Tripel ist genau dann primitiv, wenn m und n teilerfremd sind und eine der beiden Zahlen gerade, die andere ungerade ist. Alle primitiven Tripel entstehen auf diese Weise, wobei a und b auch vertauscht sein können.
Wie viele primitive Tripel gibt es bis c = 100?
Genau 16: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29), (12, 35, 37), (9, 40, 41), (28, 45, 53), (11, 60, 61), (16, 63, 65), (33, 56, 65), (48, 55, 73), (13, 84, 85), (36, 77, 85), (39, 80, 89) und (65, 72, 97).
Wozu nutzt man das Tripel 3-4-5 auf der Baustelle?
Weil 3² + 4² = 5² gilt, liegt in einem Dreieck mit diesen Seiten ein rechter Winkel zwischen den Seiten 3 und 4. Damit lässt sich ein rechter Winkel mit dem Maßband abstecken, siehe den Ratgeber zum Bauwesen.
Quellen