Hat Pythagoras den Satz selbst bewiesen?

Das ist nicht belegt. Von Pythagoras (etwa 570 bis nach 500 v. Chr.) sind keine eigenen Schriften erhalten. Spätere antike Autoren wie Plutarch und Proklos verbinden den Satz mit seinem Namen, schreiben aber Jahrhunderte nach seinem Tod. Die Forschung betrachtet diese Zuschreibung deshalb zurückhaltend.

Was ist Plimpton 322?

Eine babylonische Tontafel aus der Zeit um 1800 v. Chr., die heute zur Plimpton Collection der Columbia University in New York gehört. Sie enthält eine Tabelle mit 15 Zeilen. Die verbreitete Deutung liest die Zahlen als Seiten pythagoreischer Tripel, etwa (119, 120, 169) in der ersten Zeile. Wie die Tabelle entstanden ist und wofür sie diente, wird in der Forschung unterschiedlich beurteilt.

Was sagen die Sulba Sutras?

Die Sulba Sutras sind altindische Anleitungen zum Bau von Opferaltären. Im Baudhayana-Sulba-Sutra, das meist ins 8. bis 6. Jahrhundert v. Chr. datiert wird, steht sinngemäß: Das Seil, das über die Diagonale eines Rechtecks gespannt wird, erzeugt die Fläche, die Länge und Breite zusammen erzeugen. Das ist der Satz des Pythagoras in Worten. Die Datierung ist unter Fachleuten nicht abschließend geklärt.

Wo steht der älteste erhaltene Beweis?

In Euklids Elementen, Buch I, Satz 47, um 300 v. Chr. Die Umkehrung steht dort als Satz 48. Euklid beweist den Satz mit Flächenvergleichen: Die Höhe auf die Hypotenuse teilt das Hypotenusenquadrat in zwei Rechtecke, die jeweils flächengleich zu einem Kathetenquadrat sind.

Satz des Pythagoras: Von Plimpton 322 über Euklid bis heute

Der Satz des Pythagoras ist ein Beispiel dafür, dass Namen in der Mathematik nicht immer den Urheber bezeichnen. Der Zusammenhang zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks wurde in mehreren Kulturen genutzt, lange bevor ein Beweis aufgeschrieben wurde. Dieser Überblick bleibt bewusst vorsichtig, weil viele Datierungen und Deutungen unsicher sind.

Mesopotamien: Plimpton 322 (um 1800 v. Chr.)

Die Tontafel Plimpton 322 stammt aus der altbabylonischen Zeit. Sie wurde in den 1920er-Jahren von dem Verleger George A. Plimpton erworben und befindet sich heute in der Plimpton Collection der Columbia University in New York. Die Tafel enthält eine Tabelle mit 15 Zeilen in Keilschrift im Sechzigersystem.

Nach der verbreiteten Deutung beschreiben die Zahlen Seitenlängen pythagoreischer Tripel, darunter (119, 120, 169), (3367, 3456, 4825) und (12709, 13500, 18541). Man kann das nachrechnen: 12709² + 13500² = 343 768 681 = 18541². Einige Einträge weichen von dieser Deutung ab, was als Schreibfehler gilt.

Offen ist, wie die Babylonier die Tripel gefunden haben und wozu die Tafel diente. Otto Neugebauer und Abraham Sachs haben sie 1945 veröffentlicht und eine Erzeugung über Parameter ähnlich der Euklid-Formel erwogen. Andere Forschende, darunter Eleanor Robson, deuten sie als Lehrer-Tabelle auf Basis von Kehrwerttabellen. Ein geometrischer Beweis steht auf der Tafel nicht. Sie belegt also Wissen um ganzzahlige Lösungen, aber keinen Beweis des Satzes.

Indien: die Sulba Sutras

Die Sulba Sutras sind Anhänge zu vedischen Texten und erklären, wie Opferaltäre mit Schnüren abgemessen werden. Das Baudhayana-Sulba-Sutra wird meist ins 8. bis 6. Jahrhundert v. Chr. gesetzt, die Datierung ist umstritten. Es enthält die Aussage über die Diagonale des Rechtecks, die dem Satz des Pythagoras entspricht, und nennt Zahlentripel wie (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) und (12, 35, 37).

China: Gougu und das Zhoubi suanjing

Das Zhoubi suanjing ist ein altes chinesisches Werk zu Astronomie und Mathematik. Es behandelt das rechtwinklige Dreieck (chinesisch gougu) und rechnet mit dem Dreieck 3, 4, 5. Wann das Werk entstand, ist nicht sicher, die Spanne reicht von den letzten vorchristlichen Jahrhunderten bis in die Han-Zeit. Auch ob der Text einen Beweis im heutigen Sinn enthält, wird unterschiedlich gesehen.

Griechenland: Pythagoras und Euklid

Pythagoras von Samos lebte im 6. Jahrhundert v. Chr. und gründete in Kroton in Süditalien eine Gemeinschaft, die Pythagoreer. Eigene Schriften von ihm sind nicht erhalten. Dass er den Satz bewiesen hat, behaupten erst spätere Autoren, die Jahrhunderte nach ihm schrieben. Als gesichert gilt das nicht.

Der älteste erhaltene Beweis steht in Euklids Elementen (Buch I, Satz 47, um 300 v. Chr.). Euklid zeichnet die Höhe vom rechten Winkel auf die Hypotenuse. Sie teilt das Quadrat über der Hypotenuse in zwei Rechtecke, und jedes ist flächengleich zu einem der beiden Kathetenquadrate. Daraus folgt a² + b² = c². In Satz 48 beweist Euklid die Umkehrung.

Spätere Beweise und Verallgemeinerungen

Seit der Antike sind sehr viele Beweise gesammelt worden. Elisha Scott Loomis führt in seinem Buch The Pythagorean Proposition (2. Auflage 1940) 370 Beweise auf. Bekannt ist der Beweis von James A. Garfield aus dem Jahr 1876, der später US-Präsident wurde.

In der modernen Mathematik gilt eine Verallgemeinerung in jedem Vektorraum mit Skalarprodukt: Stehen zwei Vektoren u und v senkrecht aufeinander, dann ist |u + v|² = |u|² + |v|². Dahinter steht dieselbe Idee wie beim Satz in der Ebene.

Zeitübersicht

Quelle	Zeit	Ort	Inhalt
Plimpton 322	um 1800 v. Chr.	Mesopotamien	Tabelle, nach üblicher Deutung mit pythagoreischen Tripeln
Baudhayana-Sulba-Sutra	etwa 8. bis 6. Jh. v. Chr.	Indien	Satz in Worten, mehrere Tripel
Pythagoras von Samos	6. Jh. v. Chr.	Griechenland	keine eigenen Schriften erhalten
Euklid, Elemente	um 300 v. Chr.	Alexandria	ältester erhaltener Beweis (I.47) und Umkehrung (I.48)
Zhoubi suanjing	Datierung unsicher	China	Gougu-Dreieck, Rechnung mit 3, 4, 5
Garfield	1876	USA	Beweis über ein Trapez

Unterm Strich

Der Satz des Pythagoras wurde nicht an einem Ort erfunden. Mehrere Kulturen nutzten den Zusammenhang für Bau und Vermessung. Die griechische Leistung liegt im Beweis, der den Satz aus Grundannahmen herleitet. Wer den Satz anwenden will, braucht diese Geschichte nicht. Wer ihn verstehen will, findet in den anschaulichen Beweisen einen guten Einstieg.